\section{Teori och Analytiska Beräkningar}

                            



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\paragraph{Dimensionering av biaseringsnät}
Syftet med biaseringsnätet är att det skall koppla DC-källan till transistorn och ställa in den vid önskad arbetspunkt samt blockera inkommande AC-Signaler kring centerfrekvensen. Eftersom DC källan kan betraktas som en kortslutning sedd ifrån transistors ingång, då en avkopplingskondensator leder högfrekventa signaler till jord, så kan denna blockering uppnås genom att justera dimensionerna hos ledningen så att den blir \(\frac{1}{4}\lambda\) lång och det blir en \ang{90} fasvridning. Inimpedansen till biaseringsnätet transformeras då från en kortslutning till en öppen ledning med oändlig impedans. Detta illustreras i figur \ref{fig:impbias}.



\begin{figure}[h] 
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{figure/impbiasnat.png}
    \caption{\textit{Ininpedansen vid designfrekvensen motsvarar öppen krets.}}
    \label{fig:impbias}
\end{figure}

% Beräkningen av biaseringsnätets dimensioner gjordes  med den inbyggda stödfunktionen \textit{Linecalc} i ADS. För att bestämma elektriska längden vid 2.01 Ghz beräknas hur lång biasnätet behövde vara för att erhålla ett motsvarande en elektrisk längd på \(\frac{1}{4}\lambda\). Detta beräknas med hjälp av LinCalc då man fick ut både längd och bredd på biasnäten.



Beräkning av biaseringsnätets längd $\ell$ och bredd W vid en karakteristisk impedans $Z_0$ på 100 $\Omega$, mikrostriptjocklek H = 1,57 mm och dielektrikatpermittivitet $E_r$ = 4.4 vid \(f_0 = 2.01 \si{\giga\hertz}\) kunde göras med hjälp av grafer för  \(\frac{W}{H} \text{ vs. } Z_0\) och \(\frac{W}{H} \text{ vs. } \frac{\lambda}{\lambda_{TEM}} \) för microstrips.
\begin{equation}
 \frac{W}{H} = \frac{W}{1,57} = \underbrace{0,43}_\text{ur graf} \Rightarrow W = 0,67 \si{\milli\meter}
\end{equation}
\begin{equation}
 \lambda_{TEM} = \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_r} \cdot f_0} = 0,071
\end{equation}

\begin{equation}
\ell= \frac{1}{4}\lambda = \frac{1}{4} \cdot \underbrace{1,21}_{\text{ur graf}}  \cdot 0.071 = 21.48 \si{\milli\meter}
\end{equation}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\paragraph{Stabilitet}\hfill

Förstärkaren kan bli instabil om \(Z_{in}\) eller \(Z_{ut}\) har en negativ realdel eftersom det tyder på att \(|\Gamma_{in}| > 1\) eller \(|\Gamma_{ut}| > 1\), med andra ord att mer energi lämnar systemet än vad som kommer in. 

Förstärkaren kan vara ovillkorligen eller villkorligen stabil. I det förstnämnda fallet så är \(|\Gamma_{in}| < 1\) och \(|\Gamma_{ut}| < 1\) för alla möjliga passiva käll- och lastimpedanser. I andra fallet så är \(|\Gamma_{in}| < 1\) och \(|\Gamma_{ut}| < 1\) bara för vissa intervaller av käll- och lastimpedanser.

Stabiliteten kan bestämmas utifrån uppmätta S-parametrar med antingen \(K-\Delta\) testet eller \(\mu\)-testet nedanför. Om villkoren uppfylls så är förstärkaren ovillkorligen stabil, om de inte eller bara delaktligt uppfylls så är den potentiellt instabil.

\begin{align} \label{eq:k-delta}
&K = \frac{ 1-|S_{11}|^2-|S_{22}|^2+|\Delta|^2}{2|S_{12} S_{21}|} > 1 \\
&|\Delta| = |S_{11} S_{22} - S_{12} S_{21}|< 1 \nonumber
\end{align} 

\begin{equation}
    \mu = \frac{1-|S_{11}|^{2}}{|S_{22}-\Delta S_{11}^*| + |S_{12} S_{21}|} 
    \label{eq:mu}
\end{equation}

Om förstärkaren visas sig vara potentiellt instabil så kan man plotta stabilitetscirklar på ett smith-diagram som visar de områden där \(|\Gamma_{in}|\) eller \(|\Gamma_{ut}|\) är ostabila. 

\begin{figure}[h] 
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{figure/ostabilcirkel.png}
    \caption{\textit{Den ostabiliserade kretsen. För att stabilisera den hittar man var tangenten till stabiliseringscirkeln på lastsidan (den rosa cirkeln) skär realaxeln. I det här fallet får man en normaliserad resistans på 0,28.}}
    
\end{figure}

För designen som beskrivs av denna rapport vill man att förstärkaren skall vara ovillkorligen stabil, vilket kräver att man lägger till ett stabiliseringsmotstånd. För att få bäst möjliga brusegenskaper så placeras den seriekopplad på transistorns utgång. 

Resistorns storlek kan bestämmas genom att med ADS beräkna s-parametrarna för den oanpassade och ostabiliserade förstärkaren, plotta stabilitetscirkeln för lasten och sedan med \textit{smith}diagrammet hitta vilket \(r\) (normaliserad resistans) tangerar stabilitetscirkeln. Genom att använda formeln 
\begin{equation}
    R_{\text{stab}} = r \cdot Z_0
\end{equation}
kan man därmed beräkna \( R_{\text{stab}} \approx 0,28 \cdot 50\si{\ohm} = 14\si{\ohm} \).
\begin{figure}[h] 
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{figure/stabil-krets-data_crop.png}
    \caption{\textit{Den stabiliserade kretsen med serieresistansen kopplad till förstärkarens utgång.}}
    \label{fig:stab-krets-data}
\end{figure}

Med den uträknade resistansen inkopplad på transistorns utgång ser man enligt figur \ref{fig:stab-krets-data} hur de simulerade stabilitetscirklarna inte längre skär smithdiagrammets område vilket innebär att den är ovillkorligen stabil. Detta bekräftas även numeriskt av \textit{Mu} och \textit{StabFact} enligt kriterierna i ekv.\ref{eq:mu} respektive ekv.\ref{eq:k-delta} 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\paragraph{Dimensionering av anpassningsnät}\hfill

Anpassningsnätet är  avgörande delen för hur signalen behandlas vid förstärkning. Anpassningsnätet skall utformas så att kretsen är i balans då missanpassningar leder till \textit{gain}förluster.%reflektionsförluster vilket potentiellt kan leda till signalförluster.

Dimensioneringen kan ske på avseende på olika designer, i projektet dimensionerades det efter en sk \textit{max gain} dimensonering. Detta gjordes genom att konjugatanpassa matchningsnätet till transistorn.

För detta behövs dimensionslösa variablerna $b_1, b_2,c_1,c_2,\Delta$
\begin{equation}
b_1 = 1 + |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 - |\Delta|^2) = 1.080
\end{equation}
\begin{equation}
b_2 = 1 + |S_{22}|^2 - |S_{11}|^2 - |\Delta|^2) =  0.548
\end{equation}
\begin{equation}
c_1 = S_{11} - \Delta(S_{22}*); = 0.338+ 0.3520i
\end{equation}
\begin{equation}
c_2 = S_{22} - \Delta(S_{11}*)= -0.0523 + 0.1381i
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta=b_1 = S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21} = 0.424- 0.0768i
\end{equation}
 
Dessa kan sedan användas för att räkna ut reflektionskofficentera som sedan utnyttjas i Smith diagrammet.

%%% In rectangular form 
% \begin{equation}
% \Gamma_S =\frac{b_1\pm \sqrt{b_1^2-4|c_1|^2}}{2c_1} = 0.4389 - 0.456i
% \end{equation}
% \begin{equation}
% \Gamma_L =\frac{b_2\pm \sqrt{b_2^2-4|c_2|^2}}{2c_2} = -0.103 - 0.2735i
% \end{equation}

%%% In polar form
\begin{equation}
\Gamma_S =\frac{b_1\pm \sqrt{b_1^2-4|c_1|^2}}{2c_1} = 0.633 \phase{-46.1^{\circ}}
\end{equation}
\begin{equation}
\Gamma_L =\frac{b_2\pm \sqrt{b_2^2-4|c_2|^2}}{2c_2} = 0.292 \phase{-110.7^{\circ}}
\end{equation}

$\Gamma_L$ och $\Gamma_S$ används för att räkna ut varsin del av matchningsnätet. Vid max gain beräkning så utnyttjas konjugatanpassning av dessa konstanter och ger oss två punkter för varje sida av nätet. Dessa används sedan för att räkna ut stubbe samt ledningslängden för anpassningsnätet.


% \begin{figure}[h] 
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.7\linewidth]{figure/Smithchart_maxgain.png}
%     \caption{\textit{$\Gamma_S$ uträknat i vågländer}}
    
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \subfloat[\textit{Generatorsidan}]{\includegraphics[width=8cm]{figure/IMG_0616.png}}
    \qquad
    \subfloat[\textit{Lastsidan}]{\includegraphics[width=8cm]{figure/IMG_0610.png}}
    \caption{\textit{Dimensionering av anpassningsnätet med konjugatanpassningsmetoden.}}
    \label{fig:dimensionering_anpassingsnät}%
\end{figure}


Med hjälp av ekv. 2 och 3 så beräknades våglängden för anpassningsnätet (med $Z_0 = 50$) till $\lambda \approx 82,5mm$. Med detta kunde man direkt uttrycka de beräknade lednings- samt stubblängderna i millimeter. Detta syns i tabell \ref{tab:dimensionering_anpassningsnat}. 

\begin{table}[h]
\caption{\textit{Dimensionerna för anpassningsnätet för 'source' (eller generator) och 'load' sidorna. Den fysiska konfigurationen kan ses i figur \ref{fig:amp_circuit_pre_layout}.}}
\centering
\label{tab:dimensionering_anpassningsnat}
\begin{tabular}{lll}
$ \ell_{\text{S\_Line}} $  & 0,243$\lambda$  & 20,05mm \\ \hline
$ \ell_{\text{S\_Stub}} $  & 0,339$\lambda$  & 27,97mm \\ \hline
$ \ell_{\text{L\_Line}} $  & 0,302$\lambda$  & 24,92mm \\ \hline
$ \ell_{\text{L\_Stub}} $  & 0,414$\lambda$  & 34,16mm    
\end{tabular}
\end{table}

% Skriv längderna i meter här!

Omvandling till millimeter kunde sedan bekräftas genom att multiplicera de beräknade längderna (utryckt i våglängder) med $2\pi$ för att erhålla ett tal med radianer som enhet. Sedan kunde man mata in detta tal i ADS verktyget \textit{LineCalc} för att erhålla en längd i millimeter. 





\paragraph{Förväntad förstärkning samt brusfaktor}\hfill

För att beräkna \textit{transducerförstärkningen} $G_T$ måste först $\Gamma_{in}$ beräknas
\begin{equation}
 \Gamma_{in} = S_{11} + (S_{12}S_{21}\Gamma_L)/(1 - S22*\Gamma_L) = -0.786 - 0.134i
\end{equation}
Sedan kan man utnyttja formeln
 \begin{equation}
 G_T =\frac{P_L}{P_{avs}} = \frac{{\left|\mathrm{S_{21}}\right|}^2 \left({\left|\mathrm{\Gamma_L}\right|}^2 - 1\right) \left({\left|\mathrm{\Gamma_S}\right|}^2 - 1\right)}{{\left|\mathrm{S_{22}}, \mathrm{\Gamma_L} - 1\right|}^2 {\left|\mathrm{\Gamma_S} \mathrm{\Gamma_{IN}} - 1\right|}^2} = 21.22dB
\end{equation}
För att beräkna bruset görs omvandlingen av formeln.

\begin{equation}
F = F_{min}+\frac{R_n}{G_s}|Y_s-Y_{opt}|^2
\end{equation}

 Där $Y_s$ och $Y_{opt}$ kan beskrivas som termer av $\Gamma_S$ och  $\Gamma_{opt}$
\begin{equation}
Y_s = \frac{1-\Gamma_s}{Z_0(1+_-\Gamma_{s})}
\end{equation}
\begin{equation}    
Y_{opt} = \frac{1-\Gamma_{opt}}{Z_0(1+_-\Gamma_{opt})}
\end{equation}

\begin{equation}
    \Gamma_{opt} =0.334 + 0.423i = 0.539 \phase{51.7^\circ}
\end{equation}
\begin{equation}
    \Gamma_{s} =-0.786 + 0.134i = 0.767 \phase{9.7^\circ}
\end{equation}
Vilket ger oss slutligen funktionen  
\begin{equation}
F= F_{min} + \frac{4R_n|\Gamma_S-\Gamma_{opt}|}{Z_0(1-\Gamma_S|^2|1+\Gamma_{opt|^2}} = 1.2572
\end{equation}

En brusfaktor på 1,2 dB är godkänt enligt specifikationen med stor marginal.
